• Introduction
• L'histoire de la nature de la lumière
  • Introduction
  • Les idées de la théorie corpusculaire
  • Les idées de la théorie ondulatoire
  • Le triomphe de la théorie ondulatoire
  • Conclusion
• La vitesse de la lumière est au coeur des expériences
  • Introduction
  • Romer prouve que la vitesse de la lumière n'est pas infinie
  • Fizeau met en place une ingénieuse expérience
  • Foucault précise la vitesse de la lumière
  • Conclusion
• L'avènement électromagnétique de la lumière
  • Introduction
  • Les débuts de l'électromagnétisme : Ampère et Faraday
  • Maxwell précise la nature électromagnétique de la lumière
  • La théorie électromagnétique de nos jours
  • Conclusion
• Notre mesure de la vitesse de la lumière
  • Introduction
  • Présentation, description du four à micro-ondes
  • Les ondes stationnaires au cœur du four à micro-ondes
  • Notre expérience et notre mesure de la vitesse de la lumière
  • Conclusion
• Conclusion

Intermède mathématique

Le théorème d’Al-Kashi
Démonstration tan α ≈ α

Le théorème d’Al-Kashi

émontré par la mathématicien perse Ghiyath Al-Kashi, le théorème d’al-Kashi ou loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore dans les triangle non rectangles.

oit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure 1 : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les côtés respectivement opposés à ces angles. Alors, le théorème d'al-Kashi s'énonce de la façon suivante :

l existe deux cas possibles : un triangle formé de trois angles aigus et un triangle formé d'un angle obtu et deux aigus.

onc dans le triangle BHC, on a :

ais :

n retrouve bien la relation d’Al-Kashi :

n a utilisé la loi fondamentale de la trigonométrie : cos²Â + sin²Â = 1 ou encore cos (Â)² + sin (Â)² = 1

émonstration avec un triangle ayant un angle obtu et deux angles aigus

onc dans le triangle BAC on a :

ais :

n retrouve bien la relation d’Al-Kashi :

ci, on a utilisé une propriété de trigonométrie que l’on retrouve dans le cercle trigonométrique :

En effet:

n remarque bien que cos(â) est symétrique à cos(180 – â) par rapport à l'axe des ordonnées, donc ils sont opposés.

e qui veut dire que cos(180 – Â) = -cos(Â), d’où le résultat admit dans la démonstration.

Démonstration tan α ≈ α

Le calcul infinitésimal de Leibniz

ar rapport à l’expérience de Foucault on admet un angle très petit au voisinage de 0, ce qui implique que l’on représente cet angle en un point d’abscisse au voisinage aussi de 0. Cela explique donc que l’on se place dans un système proche de 0.

ans un repère orthonormé d’origine O, on peut tracer la fonction tangente d’équation y = tan(h)

n point Mh de cette courbe d’abscisse h peut alors être placé. Son ordonnée est f(0+h) ou tan(0+h) comme nous sommes sur la courbe de la fonction tangente. Nous pouvons alors tracer la tangente T à la courbe tangente, d’équation:

ous situant sur la tangente de la fonction tangente par définition le coefficient directeur de cette droite est la dérivée de tan(x).

n sait que :

onc pour trouver la dérivée de tan(x) on fait agir la formule suivante vue en cours :

’équation de la tangente à la courbe tangente est donc :

(y = x pour la fonction tangente).

i on prend alors un point Ph, sur la tangente T, d’abscisse h son ordonnée est :

oit la fonction tangente et sa tangente, si on fait tendre h vers 0, la différence (hε(h)) tend aussi vers 0.

lors :

onc